餐廳牆上的壁畫 ~ 陳金瑩

 

數學顧名思義

是起源於「研究」「數」的學問

早年我們在學校

會先學分辨 自然數、整數、有理數、實數 ... 這些東東

再到學習 解方程式、向量、幾何 ...

但我想,除了對數學特別有興趣的讀者以外

恐怕對多數人來說

早就通通忘光了 @@

甚至只記得,快要考試了,數學都不太會的恐懼

 

坦白說,跟以前那些對數學特別有天份的同學相比

我不算一個數學特別好的人

但後來出社會工作

再到做自己的投資

我發現「數學貴為科學之母」這句話

真的不是老師在唬人

 

數學,

不只在人類各種學問中

都產了巨大的影響

在投資的世界,也完全不例外

 

以前在教科書上,看過去覺得很醜

只想考完試就把它忘光的方程式

原來,對於做投資

有非常大的「實戰」用途

 

所以這篇文章

我要來介紹幾個投資上用的到的數學觀念

已經忘光,或從來沒搞懂的投資朋友

注意囉 ...!

 

1. 數學在投資上的主要用途

有別於純理論的數學研究

在數學家的世界裡,

還有將這些理論,擴展為各種不同分支的「應用數學」

包含 作業研究、控制理論,甚至生物數學 ... 等學科

這些應用數學當中,

與投資最相關的,非「統計學」莫屬!

 

統計學,

是一套研究如何 收集、偵測、歸納 ... 真實資料的學問

早年我自己在學數學的時候,其實對它並不是那麼有興趣

但後來學到統計學

由於開始接觸到真實資料

使我理解,原來這些東西都是有用的

都是可以拿來實戰的

尤其在到後面,數學並不再是「固定不變」

而是會跟隨某種既有規律但又十分不確定的「機率」而變動

「統計學」 + 「機率」 + 「真實資料」

讓我對這些事情,突然非常有興趣起來

也靠著這些方法

開發出自己獨有的投資模組。

 

2. 判別數值的大小與好壞

— 百分比臨界值 ( Percentile )

接著讓我來依序介紹

幾招在投資上很有用的數學觀念與方法

 

首先在投資的世界

由於我們經常需要接觸與分析許多數據資訊

比如,某某公司公布營收囉!

上個月年成長 10%

 

但這個成長 10%

到底是好或不好呢?

 

從絕對數值,我們並不一定能判別出數字的好壞

此時,我們可以善用「數學方法」中的「百分比臨界值」

把所有公司的營收數據,通通拿來做比較

便能客觀判定,這家公司的營收到底好不好

 

百分比臨界值,雖然讀起來有點文謅謅

但它本質上只是一種「排序看大小」的觀念而已

假設你取得了台股 1600 檔公司的營收年增率

把這些數值,從小排到大

再依序抽取出你想要的臨界值來製表

就能立刻判別出數值的大小與好壞

而且這個方法,只要善用 EXCEL 裡的 Percentile 函數

每個人都能靠自己,輕易做到喔!

 

下圖我以「台指選擇權市場」的波動率「真實資料」

實際貼一張圖給您看

 

資料來源:陳金瑩

 

當你取得一串數列後

只要對著這串數列下 Percentile ( 資料區間,臨界值 ) 函數

EXCEL 就會幫你抽取出整串數列裡的對應數值

 

舉例來說,

當我對著過去十年的台指選擇權波動率資料

輸入抓取 0.05  ( 5% ) 臨界值的指令後

EXCEL 會傳回 10.8 這個數字

表示在過去十年中

台股每 100 個交易日

只有 5 天,波動率會落在 10.8 以下

其他 95 天都落在 10.8 以上

而當我輸入 Percentile ( 資料區間,臨界值 = 0.95 )

EXCEL 會傳回 38.6

表示在過去十年中

台股每 100 個交易日

只有 5 天,波動率會在 38.6 以上

 

3. 平均數與中位數

如果我們想要有一個快速理解一串數列的方法

那就莫非 平均數 或 中位數 莫屬

平均數的公式很簡單:把所有值加起來,除上你有幾筆資料

而中位數的公式則為:把所有值從大到小排序,取中間那一個

 

我們來看一下,以下兩組數列

 

 

兩組人馬,您覺得哪一組的年齡較大呢?

 

其實呢!

兩組人馬的平均年齡,一樣都是 14 歲

若從平均數的角度來看,你可以說他們一樣大

 

但仔細查看人馬 B

咦!

雖然算起來的平均數為 14

但七個人當中,竟然只有一個人 > 14 歲

其餘六個人,通通小於 14 歲

 

但若從「中位數」的角度來看

人馬 A 的中位數為 14

人馬 B 的中位數則為 5  ( 平均數為 14 )

5 這個數字,雖然會遺漏 72 這筆數值資訊

但比較能代表整串數列的表現

 

其實從理論上來說

平均數是一個很完美的指標

但它比較容易受到極端值的影響

由於金融市場,處處都充滿著極端值

所以如果我們只能以一個數字,來代表群體

我通常都是用「中位數」比較多

 

中位數與剛剛的百分比臨界值

同樣都可以用 EXCEL 一秒算出來

其公式為 median ( )

或者,若您充分理解 Percentile 這個函數的用法

Percentile ( 資料區間,臨界值 = 0.5 )

其實正好就是中位數的意思喔!

 

4. 充分條件與必要條件

 

老實說,我不太確定這兩個東東算不算數學

但由於它們是在邏輯上,非常重要的觀念

所以我一起講一下

 

 

畫的圖來看看,可以加強我們的理解

 

資料來源:陳金瑩

 

以上圖 左上 那個圖來說,

由於 A 發生了,就保證 B 一定也發生,故 A 是 B 的充分條件

而 A 如果要發生,必定要建立在 B 已經先發生,故 B 是 A 的必要條件

 

以上圖 左下 那個圖來說,

由於 A 與 B 幾乎是同樣的事情

例如:今天買到隔天會漲超過交易成本的股票 vs 隔天在這檔股票能否賺錢

故兩者互為充分與必要條件

 

以上圖 右邊 那個圖來說,

由於 A 與 B 互相無法確保另一件事會發生

所以兩者互相不是對方的充分或必要條件

 

5. 搞懂機率,投資不買錯

資料來源:陳金瑩

 

機率的概念,在投資的世界

是一門很重要的學問!

其實投資往往在玩的就是一種機率

比如說:買到一檔營收月月成長、法人天天買超、股價也不會很貴 的股票

會不會賺錢?

 

從機率的角度來講,當然是高的!

但很多投資朋友,

用了這樣「對的投資方法」 ( 從事前來看 )

試了一次,卻沒賺錢以後  ( 從事後來看 )

就開始摒棄這些「正統的」「高勝算投資方法」

而走上一些旁門走道

真的很可惜!

其實,你只要用同樣的方法,多試幾次

或者不要一次只買一檔股票

而是一次買 5 ~ 10 檔這樣的股票

只要方法是對的 ( 有比較高的機率能獲勝 )

累積下來的結果,就能反映到您的損益上

 

6. 明天的 1 元,不等於今天的 1 元 

— 複利與折現

在投資的世界,還有一個非常重要的觀念:複利與折現

假設你期初以 100 萬進場投資,每年報酬率 10%

那麼持續十年之後,本金會變多少呢?

 

資料來源:陳金瑩

 

上面這個表

在 EXCEL 上的公式為 上期本金 × ( 1 + 報酬率 )

由於 100 萬滾一年,會變 110 萬

如果你很乖,沒把賺的錢拿出來花

而是繼續進場做投資

那麼到下一期,

這 10 萬還可以幫你多賺 10 × 0.1 = 1 萬

搭配上本來的 100 萬也能繼續賺 10 萬

所以到了第 2 期,

你的錢會變成 100 + 10 + 10 + 1 = 121 萬

滾了十年後,100 萬會變成 259 萬

複利效果為 259 – 100 – 100 × 0.1 × 10 = 59 萬!

而這「 10 年後」的 259 萬

如果你認為合理的折現率為 10%  ( 視你對這項投資的風險高低而定 )

每年折回來 10%  ( 公式為 上期本金  除以 ( 1 + 報酬率 ) ) 

整整折現 10 年,

也正好是 100 萬了!

 

►► 更多理財秘訣,都收錄在作者的著作中

 

結語

這篇文章,分享了幾個在數學上

對投資很有幫助的觀念與方法

本著「想做好投資,就該儘量相信客觀的事,壓抑主觀與情緒的判斷」

所以近年我花了很大的功夫

把以前學過的量化技巧

配合實際資料,把這些方法儘量都模組化

今天也正好抽空把這些心得

寫成這篇文章來分享

希望讀完以後,

您會覺得 ... 很有收穫喔!

 

 

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